Topics on Advanced Geometry A/Istituzioni di Geometria Superiore A a.a. 2017/2018, 8 CFU
Secondo semestre c.d.l. in Matematica e del c.d.l. magistrale in Matematica
Orario: lunedì 13-17 e giovedì 11-13.
Questo corso e' una introduzione alla Topologia Algebrica.
Prerequisiti: i contenuti dei corsi di Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Geometria 1, Algebra 2.
I principali testi che seguiremo sono:
- E. Munkres, Topology (per la prima parte del corso).
- E. Munkres, Elements Of Algebraic Topology (per l'omologia)
- A. Hatcher - Algebraic Topology, Cambridge University Press (liberamente scaricabile da internet)
- C. Kosniowski - Introduzione alla topologia Algebrica, Zanichelli (questo non ha l'omologia).
Altro materiale utile (ne aggiungero' via via):
- Ronald Brown, Topology and Groupoids, Deganwy, UK. (utile per la teoria delle categorie, il gruppoide fondamentale, il funtore gruppoide e le generalizzazioni di Van Kampen).
- J.P. May, A concise course in Algebraic Topology, reperibile a questo link
- W.S. Massey, A basic course in Algebraic Topology.
- (per i prerequisiti e la prima parte del corso) M. Manetti, Topologia.
- (per i prerequisiti) J. Dugundji. Topology. Boston: Allyn and Bacon, 1966.
- Link a sito con info su classificazione di superfici e teorema della curva di Jordan.
- J. Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory, Springer-Verlag
PROGRAMMA DI MASSIMA:
I. Complementi sul gruppo fondamentale: Seifert-Van Kampen
Piccolo compendio di teoria delle categorie: funtorialità del gruppo fondamentale.
Il gruppoide fondamentale e la sua funtorialità.
Teorema di Van Kampen: dimostrazione completa. Gruppi liberi, gruppi per generatori e relazioni; proprietà universale.
Van Kampen generalizzato (Munkres). Cenni alle ulteriori generalizzazioni, enunciato dal punto di vista delle categorie.
Applicazioni.
Cenni alla classificazione delle superfici compatte e connesse.
II. Complementi sul gruppo fondamentale: Teoria dei rivestimenti.
Definizioni e proprietà. Sollevamento dei cammini e delle omotopie.
Lemma di sollevamento.
Trasformazioni del rivestimento e azioni di gruppo. Monodromia.
Rivestimento universale per gli spazi semi localmente semplicemente connessi.
Classificazione dei rivestimenti. Rivestimenti normali.
III. Introduzione all'omologia simpliciale:
Simplessi; complessi simpliciali,omologia.
Invarianza per omotopia.
Omologia di superfici compatte connesse.
Omologia relativa ed escissione.
Sequenze esatte.
Applicazioni. Il grado.
La sequenza di Mayer-Vietoris.
Omologia con coefficienti.
Omologia e il gruppo fondamentale.
Alcune applicazioni classiche.
Cenni su: il punto di vista formale: assiomi per l'omologia.
Appunti del corso: scansione degli appunti, in versione PRELIMINARE!
Parte 1: complementi sul gruppo fondamentale e Teorema di Van Kampen (manca l'accenno al gruppoide fondamentale).
Parte 1(bis): cenni alla classificazione delle superfici compatte.
Parte 2: classificazione dei rivestimenti.
Parte 3: introduzione all'omologia simpliciale.
Esercizi:
Foglio 1 (presentazioni di gruppi per generatori e relazioni, Seifert- Van Kampen, classificazione delle superfici)
VECCHI ESERCIZI:
Esami
Argomenti opzionali (e per i seminari):
- Teoremi di tipo van Kampen per il gruppoide fondamentale (ref. Ronald Brown, Topology and Groupoids).
- Omologia singolare. Approssimazione simpliciale. Equivalenza delle due omologie.
- Teoremi di separazione nel piano (il troema della curva di Jordan).
- Classificazione delle superfici compatte (taglia e cuci).
- Dimostrazioni alternative del Teorema di Van Kampen.
- Dimostrazione del teorema di Nielsen–Schreier (ogni sottogruppo di un gruppo libero è libero) e della formula di Nielsen–Schreier sul rango usando il gruppo fondamentale di grafi seguendo Munkres, Topology, ch14 sec.85.
- Teoria dei nodi.
- Teoria dei grafi.
Modalita' d'esame: L'esame sara' scritto e orale.
Per gli studenti della Laurea Triennale scritto e orale standard, per gli studenti della specialistica scritto, discussione dello scritto e un seminario di approfondimento per tutti i colleghi.