Geometria Superiore/Istituzioni di Geometria a.a. 2013/2014,
8 CFU
Secondo semestre del c.d.l. magistrale in Matematica e del c.d.l. in Matematica
Universita' degli studi dell'Insubria, sede di Como.
Orari lezioni: martedi' 14-17 aula V3p (3o piano via Valleggio), giovedi' 14-17 aula 2.5 (Via Castelnuovo)
Questo corso e' una introduzione alla topologia algebrica.
Prerequisiti: i contenuti dei corsi di Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Geometria 1, Algebra 2.
TESTI consigliati
Iprincipali testi che seguiremo sono:
- C. Kosniowski - Introduzione alla topologia Algebrica, Zanichelli.
- A. Hatcher - Algebraic Topology, Cambridge University Press (liberamente scaricabile da internet)
Altro materiale utile (ne aggiungero' via via):
- H. Sato, Algebraic Topology: An intuitive approach, AMS
- E. Munkres, Elements Of Algebraic Topology.
- A concise course in Algebraic Topology, di J.P. May reperibile a questo link
- W.S. Massey, A basic course in Algebraic Topology.
- M. Manetti, Topologia.
Programma di massima:
Retratti di deformazione ed equivalenze omotopiche. Mapping cylinder e proprieta' dell'estensione dell'omotopia. CW complessi.
Complementi sul gruppo fondamentale: gruppi liberi, gruppi per generatori e relazioni; teoremi di Van Kampen e altri metodi di calcolo.
Varieta' topologiche. Superfici; triangolazione, caratteristica di Eulero-Poincare', orientazione. Classificazione delle superfici topologiche compatte connesse e orientabili.
Teoria dei rivestimenti: Proprieta' di sollevamento. Classificazione dei rivestimenti.
Trasformazioni deck e azioni di gruppo. Monodromia.
Teoria dell'omologia: omologia simpliciale e singolare. Invarianza per omotopia. Sequenze esatte ed escissione. Equivalenza delle due teorie omologiche. Applicazioni. Il grado. Omologia cellulare. La sequenza di Mayer- Vietoris. Omologia con coefficienti. Omologia e il gruppo fondamentale. Alcune applicazioni classiche. Approssimazione simpliciale.
Argomenti opzionali:
Cenni ai gruppi di omotopia superiori. Applicazioni tra sfere, grado, teorema della curva di Jordan e di invarianza del dominio.
Il punto di vista formale: assiomi per l'omologia.
Modalita' d'esame: L'esame sara' scritto e orale.